Question

Se consideră triunghiul ABC, cu AB=AC și m(90 grade. Mediatoarea laturii [AB] intersectează latura [BC] în D, mediatoarea laturii [AC] intersectează latura [BC] în E și se notează cu F centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Demonstrați că: a)[BD]=[CE]; b)[AE]=[AD]; c)AF _|_ BC; d)

Answer 1

∡A >90° ⇒ mediatoarele laturilor AB si AC se intersecteaza in exteriorul tr. ABC
AB=AC ⇒ tr. ABC este isoscel ⇒ ∡B=∡C
MF si NF sunt mediatoare concurente in F ⇒ AM=MB, AN=NC
a)
tr. dreptunghice BMD si ENC sunt congruente
∡B=∡C, BM=CN
rezulta BD=CE

b)
triunghiurile BAD si CAE sunt congruente (LUL)
AB=AC (din ipoteza)
BD=CE vezi a)
∡B=∡C (ipoteza)
rezulta AD=AE

c)
centru cecului circumscris triunghiului ABC se afla la intersectia mediatoarelor.
ducem AP⊥BC ⇒ in tr. isoscel ABC, AP este inaltime, mediana bisectoare si mediatoare
tr. DFE este isoscel deoarece ∡PDF=∡MDB=∡NEC=∡PEF ⇒ ∡PDF=∡PEF
observam ca PD=BP-BD=CP-CE =PE ⇒ PD=PE rezulta ca FP este mediana si fiind in tr. isoscel este si mediatoarea segmentului DE
in concluzie A,P,F sunt coliniare si AF este mediatoarea segmentului BC si in consecinta AF⊥BC

cred ca la c) nu e nevoie sa demonstram cu atatea detalii faptul ca AF este mediatoare in tr. ABC. Stim ca mediatoarele intr-un triunghi sunt concurente in centrul cercului circumscris triunghiului. In cazul nostru MF si NF sunt 2 mediatoare si AF este evident ce-a de a treia mediatoare.