Matematică, întrebare adresată de SixtyNine, 8 ani în urmă

Se consideră triunghiul ABC cu BC=24 și
$\cos(b) = \cos(c) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$
Să se afle perimetrul triunghiului

SixtyNine: da. mi-a dat defapt doua unghiuri dar nu am putut nici cum să pun semnul ăla

SixtyNine: sunt unghiuri de 30 de grade

targoviste44: cosB = cosC ⇒ B = C ⇒ ABC- isoscel

targoviste44: se duce înălțimea AM și se marchează B = 30°

boiustef: cosB=BM/AB, deci radical(3)/2=BM/AB, BM=BC:2=12

SixtyNine: am nevoie de perimetrul triunghiului

targoviste44: ai (ne)voie să desenezi ΔABC- isoscel, cu unghiurile din B și C de 30°

targoviste44: AM este și mediană, deci BM = 24:2 = 12cm

targoviste44: Aplicând cosB în ΔABM se determină AB = 8√3 cm

targoviste44: Perimetrul = 24+2•8√3 = 8(3+2√3 ) cm

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen

$BC = 24,\quad \cos(\widehat{B}) = \cos(\widehat{C}) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\\ \\ \Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = 30^\circ,\quad\widehat{A} = 120^\circ\\ \\ \text{Observam ca triunghiul e isoscel} \Rightarrow AB = AC = x\\ \\ \text{Teorema sinusurilor:}\\ \\\dfrac{AB}{\sin (\widehat{C})} = \dfrac{AC}{\sin(\widehat{B})} =\dfrac{BC}{\sin(\widehat{A})} \Rightarrow \dfrac{x}{\sin 30^\circ} = \dfrac{x}{\sin 30^\circ} = \dfrac{24}{\sin 120^\circ} \Rightarrow$

$\Rightarrow \dfrac{x}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{24}{\dfrac{\sqrt 3}{2}} \Rightarrow 2x = \dfrac{48\sqrt 3}{3}\Rightarrow x = 8\sqrt 3 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow AB = AC = 8\sqrt 3 \\ \\\\ \Rightarrow \boxed{P = 16\sqrt 3+24}$