Question

se considera triunghiul Abc cu laturile AB=c,BC=a,CA=b si sitemul
ay+bx=c
cx+az=b
bz+cy=a.
b) sa se demonstreze ca, pentru orice triunghi,sistemul are solutie unica.
c)stiind ca solutia sistemului este (x0,y0,z0), sa se demonstreze ca x0,y0,z0 ∈ (-1,1)

Answer 1

1) ay+bx=c ⇒ x=(c-ay)/b; a doua ecuatie devine c(c-ay)/b+az=b ⇒ c²-acy+abz=b² ⇒
c²-b²-acy+abz=0 ⇒ y=(c²-b²+abz)/ac.
Inlocuim in a treia ecuatie: bz+cy=a ⇒ bz+(c²-b²+abz)/a=a ⇒ abz+c²-b²+abz=a² ⇒
z=(a²+b²-c²)/2ab; analog x=(b²+c²-a²)/2bc; y=(a²+c²-b²)/2ac; este evident ca e solutie unica functie de laturile triunghiului.
2) Se aplica teorema cosinusului: intr-un triunghi oarecare ⇒
cosA=(b²+c²-a²)/2bc; se observa ca este chiar x-ul calculat anterior; analog cosB=y, cosC=z. Dar f(x)=cosx este f:R->[-1;1] ⇒ solutia x a sistemului ∈(-1,1); analog pentru x si z.