Question

Se considera triunghiul ABC cu m(ABC)=45° . Fie punctul P mijlocul laturii AC iar AM si CN inaltimi in triunghiul ABC cu M apartine BC si N apartine AB. Aratati ca triunghiul MNP este dreptunghic isiscel, avand m(MPN)=90°

Answer 1

am pus pe desen datele din ipoteza si in plus:
∡NCB=90-45=45° si ∡BAM=90-45=45°
in tr. dreptunghic ANC, NP este mediana ⇒ NP=AP=PC  (1)
in tr. dreptunghic ACM, MP este mediana ⇒ MP=AP=PC (2) 
din  (1) si (2) rezulta ca NP=MP ⇒ tr. NPM este isoscel
din (1) si (2) observam ca punctele C,M,N si A se afla pe cercul cu centrul in P, AC diametru iar PC=PM=PN=PA raze
in aceasta situatie masura arcului mic MN este dublul masurii unghiului NCM
m(arcMN)=2*45=90°=m(∡MPN)
in concluzie tr. MPN este isoscel si dreptunghic in P