Question

se considera triunghiul ABC cu m(∠BAC)=60. Inaltimele BB₁ si CC₁ se intersecteaza in punctul H, iar bisectoarea unghiului BAC intersecteaza cele 2 inaltimi in punctele E si respectiv F. Demonstrati ca triunghiul EFH este echilateral.

Answer 1

presupunem ca E se afla pe BB1 si F pe CC1
BB1 este inaltime in triunghi, asta inseamna ca BB1 este perpendiculara pe AC adica
$\angle{BB_{1}A=\angle{EB_{1}A}=90}$ rezulta ca triunghiul AB1E este dreptunghic si celelalte 2 unghiuri sunt complementare intre ele si fac 90 de grade
$\angle{B_{1}AE}+\angle{AEB_{1}}=90$ dar stim ca AE este bisectoarea unghiului A, atunci
$\angle{B_{1}AE}=\angle{BAE}=\frac{BAC}{2}=\frac{60}{2}=30$
Atunci avem
$30+\angle{AEB_{1}}=90\Rightarrow \angle{AEB_{1}}=90-30=60$
Stim ca E este si intersectia dreptelor AF si BB1, atunci intervine regula unghiurilor opuse la varf care sunt egale egale
$\angle{AEB_{1}}=\angle{HEF}=60$(1) prima relatie importanta
acum ne uitam la triunghiul AC1F stim ca F face parte din CC1 si CC1 este perpendiculara pe AB, atunci si FC1 este perpendiculara pe AB, adica
$\angle{AC1F}=90$ este triunghi dreptunghic, restul de 2 unghiuri sunt complementare si fac 90 de grade si cunoastem unul dintre ele pentru ca E si F sunt pe bisectoare ambele
$\angle{BAE}=\angle{BAF}=\angle{FAC_{1}=30$
iar relatia de complementaritate este
$\angle{FAC_{1}+\angle{AFC_{1}}=90\Rightarrow \angle{AFC_{1}}=90-30=60$
Dar pentru ca E este pe aceeasi semidreapta ca A, si H pe C1 avem
$\angle{AFC_{1}}=\angle{EFH}=60$(2) a doua relatie importanta
din cele 2 relatii reiese ca triunghiul EHF este isoscel cu 2 unghiuri congruente. Dar din faptul ca stim ca si unghiurile sunt egale cu 60, atunci stim ca este de fapt un triunghi echilateral.