Question

Se consideră triunghiul ABC cu m(ZBAC) = 60°. BB, şi CC se
intersectează în punctul H iar bisectoarea unghiului BAC intersectează
cele două înălțimi în punctele E şi respectiv F. Demonstrați că triunghiul
EFH este echilateral...Piteti sa ne explecati cum asta e facut.Tipo aicea numai raspunsurile da nie imi trebuie inca explicatie​

Answer 1

Presupunem ca E se afla pe BB si F pe CC
BB este inaltime in triunghi, asta inseamna ca BB este perpendiculara pe AC adica
rezulta ca triunghiul ABE este dreptunghic si celelalte 2 unghiuri sunt complementare intre ele si fac 90 de grade
dar stim ca AE este bisectoarea unghiului A, atunci

Atunci avem

Stim ca E este si intersectia dreptelor AF si BB, atunci intervine regula unghiurilor opuse la varf care sunt egale egale
(1) prima relatie importanta
acum ne uitam la triunghiul ACF stim ca F face parte din CC si CC este perpendiculara pe AB, atunci si FC1 este perpendiculara pe AB, adica
este triunghi dreptunghic, restul de 2 unghiuri sunt complementare si fac 90 de grade si cunoastem unul dintre ele pentru ca E si F sunt pe bisectoare ambele

iar relatia de complementaritate este

Dar pentru ca E este pe aceeasi semidreapta ca A, si H pe C1 avem
(2) a doua relatie importanta
din cele 2 relatii reiese ca triunghiul EHF este isoscel cu 2 unghiuri congruente. Dar din faptul ca stim ca si unghiurile sunt egale cu 60, atunci stim ca este de fapt un triunghi echilateral.