Question

Se considera triunghiul ABC cu medianele AM si respectiv BN unde M apartine (BC) si N apartine (AC).Stiind ca AM=45cm ,BN=60cm ,AM intersectat BN=[G] si [AB]=[CG],calculati:
a) masura unghiului AGB
b) aria triunghiului ABC
c) distanta de la punctul C la dreapta BN?

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

AM, BN mediane, AM=45cm, BN=60cm. AM∩BN={G}, AB=CG.

a) Fie Ce mediana, E∈AB. G este punct de intersectie a medianelor, deci EG=(1/2)·CG=(1/2)·AB, ⇒m(∡AGB)=90° si AM⊥BN.

b) Aria(ΔABC)=???

Aria(ΔABG)=(1/2)·AG·BG, AG=(2/3)·AM=30cm, BG=(2/3)·BN=40cm

Atunci Aria(ΔABG)=(1/2)·30·40=600cm²

ΔAGN dreptunghic, Aria(ΔAGN)=(1/2)·AG·GN, GN=BN-BG=60-40=20cm

Deci Aria(ΔAGN)=(1/2)·30·20=300cm².

Aria(ΔCGN)=Aria(ΔAGN), deoarece au laturi egale (AN=CN) si aceeasi inaltime corespunzatoare acestor laturi.

Aria(ΔBMG)=(1/2)·BG·MG=(1/2)·40·15=300cm²

La fel Aria(ΔBGM)=Aria(ΔCGM), deoarece au laturi egale (BM=CM) si aceeasi inaltime corespunzatoare acestor laturi.

Deci Aria(ΔABC)=Aria(ΔABG)+Aria(ΔANG)+Aria(ΔCNG)+Aria(ΔCMGG)+Aria(ΔBMG)=600+300+300+300+300=1800cm²

d) Trasam CF⊥BN, atunci d(C,BN)=CF. ΔAGN≡ΔCFN, deoarece sunt dreptunghice cu ipotenuze egale si AG⊥BN si CF⊥BN, deci AG║CF. Atunci ∡GAN≡∡FCN ca alterne interne la dreptele paralele AG si CF cu secanta AC, deci AG=CF=30cm.