Question

se considera triunghiul ABC dreptunghic in A in care AB=20 cm , AD intersectat pe Bc si D apartine lui BC si CD=9cm. a) Sa se arate ca AC=15cm si BC=25 cm
b)Sa se determine distanta de la mijlocul catetei AB la ipotenuza
c)Sa se calculeze lungimea bisectoarei CM a unghiului C, M apartine lui AB .
Ofer 45 de puncte. Rog seriozitate

Answer 1

daca             AD⊥ BC  ; AD = inaltime  
  ⇒ alte  Δ drepte    ; Δ ADB  cu  mas<( ADB) = 90 
cu teorema inaltimii  AD² = CD  ·  DB                  ; 
notam BD = x                  AD²=  9  · x 
si in Δ ADB drept           AB² = BD²  + AD²
                                   20²  =  x²  + 9 · x 
x²  + 9 ·x  - 400 = 0               ; Δ= 1681      ; √Δ=41 
x = ( - 9 + 41) / 2 = 32 /2 = 16             ⇒   BD = 16 cm 
                    BC = CD + BD = 9cm + 16 cm = 25 cm 
BC² = AB² + AC ²                   ; 25² = 20² + AC²       
                                              625 = 400 + AC²
               AC² = 225              ;   AC = √225 = 15 cm 
b.    inaltimea AD² = 9 · x = 9 · 16             ; AD = √9·√16 = 3 ·4 =12 
distanta de la mijlocul catetei AB la ipotenuza   II AD   , mijloc 
              ⇒ linie mijlocie  = AD / 2   = 12cm / 2= 6 cm 

c. teorema bisectoarei 
MB  / MA = BC / AC 
MB = 20  - MA
( 20 - MA ) · AC = MA · BC 
 ( 20 - MA ) · 15 = MA  ·25     impartim cu  5 
  3 ·( 20 - MA)  = 5 MA
  60   - 3MA = 5 MA 
  8 MA = 60                 ;  MA = 15 / 2
⇒  Δ  MAC   drept 
bisectoarea ( ipotenuza  acestui Δ )   MC ² = MA² + AC² = 225 / 4 + 225 
MC = 15√5 / 2   cm