Question

Se considera triunghiul ABC in care:
a=2m+1
b=m²-1
c=m²+m+1
a)Sa se determine m pentru care triunghiul ABC exista;
b)Aratati ca triunghiul are un unghi de 120 grade

Answer 1

a) Trebuie verificate inegalitățile
a>0, b>0, c>0 și
a<b+c (1)
b>a+c (2)
c<a+b (3)
Din (1) rezultă $2m^2-m-1>0\Rightarrow m\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup(1,\infty)$
Din (2) rezultă $3m>-3\Rightarrow m\in(-1,\infty)$
Din (3) rezultă $m>1$
Intersectând mulțimile se obține $m\in(1,\infty)$

b) Se observă că cea mai mare latură este c, deci unghiul obtuz ar trebui să fie C
Avem
$\cos C=\displaystyle\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
Efectuând calculele se obține $\cos C=-\frac{1}{2}\Rightarrow C=120^{\circ}$