Question

Se considera triunghiul ABC in care masura unghiului A = 90° si masura unghiului B = 70°
Aflati masura unghiului format dr inaltimea [AD] si mediana [AM]

Answer 1

A+B+C=180, 90+70+C=180, C=20
În orice triunghi dreptunghic lungimea medianei dusă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
AM=BM=MC 
deoarece MC=AM, ΔAMC Δisoscel, ∡MCA=∡CAM=20
∡MCA+∡CAM+∡AMC=180,  20+20+∡AMC=180, ∡AMC=140
∡AMC+∡AMB=180, ∡AMB=40
ΔADM dreptunghic (AD inaltime in ΔABC)
∡DAM+∡AMB+∡ADM=180
∡DAM+40+90=180, ∡DAM=50

Answer 2

Similar ca la problema precedenta
AM este egala cu jumatate din ipotenuza BC
$AM=\frac{1}{2}BC$ dar M este mijlocul lui BC
$CM=\frac{1}{2}BC$ deci cele 2 laturi sunt congruente
$CM=AM$ atunci CAM este triunghi isoscel si laturile opuse laturilor congruente sunt la randul lor congruente deci avem
$\angle{MAC}=\angle{MCA}=\angle{BCA}$
Dar BCA este unghiul C din triungiul dreptunghic, deci stim ca BCA si unghiul B(ABC) sunt complementare, adica
$\angle{ABC}+\angle{ACB}=90\Rightarrow \angle{ACB}=90-\angle{ABC}=90-70=20$
Atunci
$\angle{MAC}=\angle{ACB}=20$
Ne uitam si in triunghiul ADB. AD perpendicular pe BC, atunci unghiul D=90 grade, deci celelalte 2 unghiuri sunt complementare
$\angle{ABD}+\angle{DAB}=90\Rightarrow \angle{DAB}=90-\angle{ABC}=90-70=20$
Acum ne uitam si vedem ca DAB DAM si MAC formeaza impreuna unghiul A de 90 grade
$\angle{DAB}+\angle{DAM}+\angle{MAC}=90\Rightarrow \angle{DAM}=90-\angle{DAB}-\angle{MAC}=90-20-20=50$