Question

Se consideră triunghiul isoscel ABC , cu AB = AC , AB > BC și punctul M pe latura BC .
Perpendiculara în A pe latura AB intersectează dreapta BC în punctul D și punctul E este
proiecția punctului D pe dreapta AC .
a) Arătați că unghiurile ADB și EDC sunt congruente.
b) Demonstrați că distanța de la punctul M la dreapta AD este egală cu distanța de la punctul M
la dreapta DE .
c) Demonstrați că segmentele AP și MQ sunt congruente, unde punctul P este proiecția punctului
M pe dreapta AB și punctul Q este proiecția punctului M pe dreapta DE .

Va rog sa ma ajutati cu un desen macar!

Answer 1

a)

ducem AA'⊥BC, AA' este si bisectoare in tr. isoscel ABC
notez ∡A'AC=x
∡x=90-∡C=90-∡ECD=x
in tr dr. BAD, ∡ADB=90-∡B=90-∡C=x
deci BD este bisectoarea unghiului ADQ ⇒ ∡ADB=∡EDC=x

b)
prin definitie bisectoarea unui unghi este multimea punctelor aflate la distante egale de laturile unghiului
din ipoteza avem: MN⊥AD si MQ⊥ED si in consecinta MN=NQ adica distantele in discutie sunt congruente

c)
MN⊥AD din ipoteza
AB⊥AD din ipoteza ⇒  AB║MN
MP⊥AB din ipoteza
DA⊥AB din ipoteza ⇒ MP║NA
rezulta ca APMN este paralelogram cu unghiuri drepte deci e dreptunghi
rezulta ca AP=MN=MQ ⇒ AP=MQ