Question

Se consideră un dreptunghi ABCD şi punctele E, F apartin AC astfel încât

DE perp. pe AC, BF perp. pe AC. Dacă EF = AD, atunci măsura unghiului obtuz făcut

de diagonalele dreptunghiului are măsura egală cu:

a. 120°; b. 135°; c. 105°; d. 145°.

Answer 1

Răspuns:

a. 120°

Explicație pas cu pas:

ABCD este dreptunghi, AB ≡ CD, BC ≡ AD

AC ∩ BD = {O}

AO ≡ BO ≡ CO ≡ DO

DE ⊥ AC, BF ⊥ AC

∢DOE ≡ ∢BOF (opuse la vârf)

=> ΔDEO ≡ ΔBFO (cazul I.U.)

=> OE ≡ OF => OE = ½×AD

notăm AD = 2x și OA = y

=> OE = x => AE = y - x

T.P. în ΔDEA și ΔDEO

DE² = AD²-AE² = OD²-OE²

(2x)²-(y-x)² = y²-x²

(2x-y+x)(2x+y-x) = (y-x)(y+x)

(3x-y)(y+x) = (y-x)(y+x) |:(y+x), y+x ≠ 0

3x - y = y - x => 2x = y

=> AD = OA => AD ≡ OA ≡ OD => ΔAOD este echilateral => ∢AOD = 60°

=> ∢AOB = 120°