Question

Se considera un pătrat ABCD, cu AB=2. Calculati modulul vectorului AM+AN, unde punctul M este miljlocul laturii BC iar punctul N este mijlocul laturii DC.

Answer 1

Metoda 1:

Oricum am aseza sistemul de coordonate xOy si patratul in spatiu, modulul oricarui vector din acel patrat va fi acelasi intotdeauna.
Eu am situat sistemul xOy cat mai satisfacator pentru a usura calculul.

$\text{Din figura 1 se observa ca: }\\ \\ \overrightarrow{AM} = \Big(0-(-1)\Big)i + (-1-1)j = i -2j\\ \overrightarrow{AN} = \Big(1-(-1)\Big)i +(0-1)j = 2i-j \\ \\ \Big|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\Big| = \Big|(i-2j)+(2i-j)\Big| = |i-2j+2i-j| =\\ = |3i-3j| =\sqrt{3^2+(-3)^2} = \sqrt{9+9} = \\ = \sqrt{18} = \boxed{3\sqrt{2}}$


Metoda 2:

In figura 2 am aplicat regula paralelogramului pentru a-l reprezenta pe AA'.
Vectorul AA' este suma vectorilor AM si AN.
Problema se reduce la a calcula lungimea segmentului AA'. 

AA' = AC + CA'

CA'  = AC / 2;

Aplicam teorema lui Pitagora pentru a-l afla pe AC.

AC² = AB² + BC²  => AC² = 2²+2² => AC² = 8 => AC = √8 => AC = 2√2
CA' = 2√2 / 2 => CA' = √2 

=> AA' = 2√2 + √2 => AA' = 3√2 $\Rightarrow \boxed{\Big|\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\Big| = 3\sqrt2}$