Question

se considera un triunghi ABC se se ia M apartine (BC) astfel incat [BM] congruent [MC]. Daca [AM este bisectoarea unghiului A , aratati ca triunghiul ABC este isoscel

Answer 1

Se poate demonstra prin doua metode.
1) Teorema bisectoarei care spune ca raportul laturilor adiacente unghiului din care vine bisectoarea este egal cu raportul laturilor formate la intersectia bisectoarei cu latura opusa unghiului.
Atunci in cazul tau unde M este punctul de intersectie dintre bisectoarea unghiului A si BC avem
$\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}$
Dar stim ca BM=MC. Atunci
$\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}=\frac{MC}{MC}=1\Rightarrow AB=AC$
doua laturi sunt egale, triunghiul este isoscel
2) Stim ca mediana unui triunghi imparte acel triunghi in doua triunghiuri de arii egale. In cazul nostru, M este mijlocul lui BC, atunci AM este mediana, triunghiurile BAM si CAM au aceeasi arie
$A_{BAM}=A_{CAM}$
Dar stim ca aria unui triunghi poate fi scrisa ca sin(unghi)*laturile adiacente/2
$A_{\Delta}=\frac{\sin{A}*AB*AC}{2}$
In cazul nostru pentru cele doua triunghiuri BAM si CAM am avea relatia
$\frac{\sin{BAM}*AB*AM}{2}=\frac{\sin{CAM}*AB*AM}{2}\Rightarrow \sin{BAM}*AB=\sin{CAM}*AC$
Dar mai stim ca AM este bisectoare, atunci unghiurile formate sunt egale intre ele
$\angle{BAM}=\angle{CAM}=\frac{1}{2}*\angle{BAC}$
de unde reiese si ca
$\sin{BAM}=\sin{CAM}$
Asadar
$\sin{BAM}*AB=\sin{CAM}*AC=\sin{BAM}*AC\Rightarrow AB=AC$ deci triunghiul este isoscel.