Question

Se consideră un triunghi ABC și punctele M, N, P astfel încât AM (vector) = MB (vector), BN (vector)= NC (vector), CP (vector)= PA (vector). Fie H ortocentrul triunghiului MNP . Să se demonstreze că AH=BH=CH.

Answer 1

[tex]\vec{AM}=\vec{MB}\Rightarrow\vec{AB}=\vec{AM}+\vec{MB}=\vec{AM}+\vec{AM}=2\vec{AM}\\ \text{ Deci }\vec{AB}=2\vec{AM}\Rightarrow M \text{ mijlocul lui }[AB]\\ \text{Analog $N,P$ mijloacele laturilor $[BC],[AC]$}.\\ \text{In trinughiul median $MNP$ ducem inaltimile }MC',NA',PB'.\\ MC'\perp PN,\ PN||AB\Rightarrow MC'\perp AB\Rightarrow\\ MC' \text{ este mediatoarea segmentului }[AB]\\ \text{Analog $NA',PB'$ sunt mediatoarele segmentelor }[BC],[AC].\\ \text{ In consecinta, $H$ nu este doar ortocentrul }[/tex]
[tex]\Delta ABC, \text{ci si centrul cercului circumscris triunghiului} ABC.\\ \Rightarrow AH=BH=CH [/tex]
Reamintim ca centrul cercului circumscris unui triunghi este egal departat de varfurile triunghiului.