Question

Se considera un triunghi ABC si un punct O in interiorul acestuia.Se construieste OM⊥AB,M∈[AB] si se prelungeste OM cu PM astfel incat [OM]≡[PM].Se construieste ON⊥AC,N∈[AC] si se prelungeste ON cu NQ astfel incat [ON]≡[NQ]. Demonstrati ca :

a) [AO]≡[AQ]≡[AP];
b) [BO]≡[BP]
c) [CO]≡[CQ]

Answer 1

a)
[OM]≡[MP]
OM_I_AB
rezulta ca AM este mediana si inaltime in triunghiul AOP 
inaltimea este si mediana in triunghiurile isoscele 
rezulta ca triunghiul AOP este isoscel deci [AO]≡[AP]
[ON]≡[NQ]
OQ_I_AC
rezulta ca AN este mediana si inaltime in triunghiul AOQ 
inaltimea este si mediana in triunghiurile isoscele 
rezulta ca triunghiul AOQ este isoscel deci [AO]≡[AQ]
rezulta ca [AO]≡[AP]≡[AQ]

b) 
[OM]≡[MP]
OM_I_AB
rezulta ca BM este mediana si inaltime in triunghiul OBP 
inaltimea este si mediana in triunghiurile isoscele 
rezulta ca triunghiul OBP este isoscel deci [BO]≡[BP]

c)
[ON]≡[NQ]
OQ_I_AC
rezulta ca CN este mediana si inaltime in triunghiul QCO 
inaltimea este si mediana in triunghiurile isoscele 
rezulta ca triunghiul CQO este isoscel deci [CQ]≡[CO]