Question

Se consideră un triunghi cu lungimile laturilor
a, b și c. Demonstrați că:
a) Dacă a⁴ + b⁴ - c⁴= 2a²b², atunci triunghiul
este dreptunghic.
b) Dacă a²b-b²a + b²c-c²b = a²c-c²a,
atunci triunghiul este isoscel.
c) ab + bc + ac = a² + b²+ c², atunci triunghiul
este echilateral.​
Dau coroană!

Answer 1

a. a²+b²+c²≥ab+bc+ac ⇔

2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0 ⇔

a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²≥0 ⇔

(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0 propozitie adevarata pentru orice a;b;c∈R;

b. a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+a²c² ⇔

2a⁴+2b⁴+2c⁴-2a²b²-2b²c²-2a²c²≥0 ⇔

a⁴-2a²b²+b⁴+b⁴-2b²c²+c⁴+c⁴-2a²c²+a²≥0 ⇔

(a²-b²)²+(b²-c²)²+(c²-a²)²≥0 propozitie adevarata pentru orice a;b;c∈R;

c. a⁴+b⁴+c⁴≥abc(a+b+c)=a²bc+b²ac+c²ab propozitie adevarata pentru orice a;b;c∈R;