Question

se considera unghiul xoy ascutit. pe latura ox se iau punctele a si c iar pe latura oy se iau punctele b si d astfel incat oa congruent cu ob si oc congruent cu od. dreptele ad si bc se intersecteaza in punctul e. Aratati ca triunghiul aec congruent cu triunghiul bed.

Answer 1

a) demonstrăm că OA ≡ OC

ΔOBD isoscel cu baza BD ⇔ OB ≡ OD

cum AB ≡ CD ⇒ OB - AB = OD - CD

⇒ OA ≡ OC

⇒ ΔOAC isoscel cu baza AC

b) demonstrăm prin cazul de congruență L.U.L.

notăm unghiul xOy cu α, pentru ușurința scrierii

OB ≡ OD, OC ≡ OA, α unghi comun ⇒ (L.U.L.) ΔBOC ≡ ΔDOA

c) demonstrăm că ΔOAT ≡ ΔOCT

OA ≡ OC și OT latură comună

mai avem nevoie de congruență pentru a treia latură, AT și CT

demonstrăm că ΔABT ≡ ΔCDT

AB ≡ CD (1)

ΔBOC ≡ ΔDOA ⇒ ∡OBC ≡ ∡ODA ⇔ ∡ABT ≡ ∡CDT (2)

ΔBOC ≡ ΔDOA ⇒ ∡BCO ≡ ∡DAO ⇒ suplementele lor sunt congrunte

⇒ ∡TAB ≡ ∡TCD (3)

(1), (2), (3) ⇒ (U.L.U.) ΔABT ≡ ΔCDT ⇒ AT ≡ CT

⇒ (L.L.L.) ΔOAT ≡ ΔOCT

⇒ ∡AOT ≡ ∡ COT ⇔ OT bisectoarea unghiului α (∡xOy)

Answer 2

Buna!!

stim ca OC congruent cu OD

            OA congruent cu OB

si ca pct A si C apartin OX iar pct B si D apartin OY

===> AC congruent cu BD

AD intersectat cu BC => pct E

triunghiul AEC si triunghiul BED

au AC=BD

AD intersectat cu BC => pct E

rezulta ca unghiul AEC si BEC sunt unghiuri opuse la varf (adica)

congruente

rezulta prin caz de asemanare ca

triunghiul AEC si BED sunt congruente