Se considera x^2 -ax+b=0 avand radacinile p si q. Determinati numerele intregi a si b stiind ca numerele p,q,a,b sunt in aceasta ordine in progresie aritmetica.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Este putin greu de urmarit rezolvarea, insa este un exercitiu super interesant.
Explicație pas cu pas:
In general, in ecuatia ax² + bx + c = 0, suma radacinilor este -b/a, iar produsul lor este c/a.
In cazul nostru, suma radacinilor este egala cu a, iar produsul lor este egal cu b.
Asadar: p + q = a si p×q = b
p,q,a,b fiind in progresie aritmetica, inseamna ca diferenta dintre doua numere invecinate este aceeasi, adica
q-p = b-a. Si cum
q+p = a, rezulta ca (adunand)
2q = b, sau b = 2q.
Daca notam cu R ratia progresiei, avem ca b = a+R = q+R+R = q+2R
Asadar
2q = q+2R
q=2R
R = q/2, deci ratia progresiei este q/2
si atunci
q = p + q/2 ⇒p = q/2
si
b = a + q/2, iar cum b=2q ⇒a=3q/2
Deci termenii progresiei sunt q/2, q, 3q/2 , 2q
Revenind acum la produsul radacinlor, avem ca
p×q = b , adica
(q/2) × q = 2q
q²/2 = 2q
q² = 4q
q²-4q=0
q(q-4)=0 cu solutiile q=0 si q=4.
q=0 nu satisface conditiile ( progresia va avea toti termenii 0), deci ramane solutia q=4
Asadar a = 3q/2 = 6
b = 2q = 8
Verificare:
p = q/2 = 2
x²-6x+8 =0
x²-2x - 4x +8 = 0
x(x-2) -4(x-2)=0
(x-2)(x-4)=0, cu solutiile 2 si 4., iar 2,4,6,8 sunt in progresie aritmetica.