Question

Se considera x1,x2 solutiile ecuatiei (m-2)x^2-2mx+2m-3=0, unde m este nr real si diferit de 2. Numerele reale m pentru care 1/x1^2 + 1/x2^2=2

Answer 1

Răspuns:

$D. \ \frac{15}{4} \ si \ 1$

Explicație pas cu pas:

$(m - 2) {x}^{2} - 2mx + 2m - 3 = 0 \\ {x}^{2} - \frac{2m}{m - 2} \cdot x + \frac{2m - 3}{m - 2} = 0$

din Relațiile lui Viete:

$S = x_{1} + x_{2} = \frac{2m}{m - 2}$

$P = x_{1} x_{2} = \frac{2m - 3}{m - 2}$

$\frac{1}{ {x_{1}}^{2} } + \frac{1}{ {x_{2}}^{2} } = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{{x_{1}}^{2} \cdot {x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{{x_{1}}^{2} \cdot {x_{2}}^{2}} = \\ = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2x_{1} \cdot x_{2} - 2x_{1} \cdot x_{2}}{{x_{1}}^{2} \cdot {x_{2}}^{2}} = \\ = \frac{ {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 (x_{1}x_{2}) }{(x_{1}x_{2})^{2}} = \frac{ {S}^{2} - 2P }{ {P}^{2} }$

$\frac{{S}^{2}-2P }{ {P}^{2} } = 2 \iff {S}^{2} - 2P = 2{P}^{2} \\ {S}^{2} - 2P - 2{P}^{2} = 0$

$\Big(\frac{2m}{m - 2}\Big)^{2}-2\cdot\frac{2m - 3}{m - 2}-2\cdot\Big(\frac{2m - 3}{m - 2}\Big)^{2} = 0$

$4m^{2} - 2(2m - 3)(m - 2) - 2(2m - 3)^{2} = 0$

$4m^{2} - 4m^{2} + 14m - 12 - 8m^{2} + 24m - 18 = 0$

$-8m^{2} + 38m - 30 = 0 \iff 4m^{2} - 19m + 15 = 0$

$4m^{2} - 4m - 15 m + 15 = 0 \iff 4m(m - 1) - 15(m - 1) = 0$

$(m - 1)(4m - 15) = 0$

$m - 1 = 0 \implies m = 1$

$4m - 15 = 0 \implies m = \frac{15}{4}$