Question

Se considera x1,x2 solutiile ecuatiei (m-2)x^2-2mx+2m-3=0, unde m este nr real si diferit de 2. Numerele reale m pentru care 1/x1^2 + 1/x2^2=2.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$(m - 2) {x}^{2} - 2mx + 2m - 3 = 0 \\ {x}^{2} - \frac{2m}{m - 2} \cdot x + \frac{2m - 3}{m - 2} = 0; \ \ m \not = 2$

din Relațiile lui Viete:

$\boxed {\red {\bf {x}^{2} - Sx + P = 0}}$

$\red { S = x_{1} + x_{2}}; \ \ \ \red {P = x_{1}x_{2}}$

$S = \frac{2m}{m - 2}; \ \ \ P = \frac{2m - 3}{m - 2}$

$\frac{1}{ {x_{1}}^{2} } + \frac{1}{{x_{2}}^{2} } = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}} = \frac{(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^{2}} = \frac{S^{2} - 2P}{P^{2}} \\ \implies \bf \frac{S^{2} - 2P}{P^{2}} = 2 \iff S^{2} - 2P = 2P^{2}$

$\Big(\frac{2m}{m - 2}\Big)^{2} - 2\Big(\frac{2m - 3}{m - 2}\Big) = 2\Big(\frac{2m - 3}{m - 2}\Big)^{2}$

$4 {m}^{2} - 2(2m - 3)(m - 2) = 2 {(2m - 3)}^{2}$

$4 {m}^{2} - 19m + 15 = 0 \\ (4m - 15)(m - 1) = 0$

$4m - 15 = 0 \implies \bf m = \frac{15}{4} \\ m - 1 = 0 \implies \bf m = 1$