Question

Se considere triunghiul ABC si punctele D,E astfel incat vectorulAD=2vecDB, vecAE=2vecEC. Sa se arate ca dreptele DE si BC sunt paralele

Answer 1

Din relatiile date rezulta ce vectorii, AD si DB ca si perechea AE si EC sunt respectivi coliniari, adica D intre A si B, iar E intre A si C, si avem proportia AD/DB=AE/EC=2 si din reciproca lui Thales rezulta DE II BC.

Answer 2

$\vec{AB}=\vec{AD}+\vec{DB}=\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{AD}=\frac{3}{2}\vec{AD}$
$\vec{AC}=\vec{AE}+\vec{EC}=\vec{AE}+\frac{1}{2}\vec{AE}=\frac{3}{2}\vec{AE}$
Stim ca
$\vec{DE}=\vec{DA}+\vec{AE}=\vec{AE}-\vec{AD}$
$\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{AC}-\vec{AB}=\frac{3}{2}\vec{AE}-\frac{3}{2}\vec{AB}=\frac{3}{2}(<span>\vec{AE}-\vec{AD}</span>)=\frac{3}{2}\vec{DE}$ Cei doi vectori sunt proportionali, atunci inseamna ca sunt coliniari
Daca cei doi vectori sunt coliniari inseamna ca DE si BC sunt aceeasi dreapta sau sunt drepte paralele. Este evident ca nu sunt aceeasi dreapta, deci inseamna ca sunt paralele.