Question

Se cunosc unghiurile A si B ale triunghiului ABC. Determinati unghiul ADC, unde [CD] este mediană triunghiului.

Answer 1

Aria unui triunghi poate fi scrisa ca produs de laturi adiacente * sin unghi dintre ele/2
Stim ca mediana CD imparte triunghiul ABC in doua triunghiuri de arii egale:
ACD si BCD
$A_{ACD}=A_{BCD}$
D este mijlocul lui AB, atunci AD=BD
Putem scrie aria lui ACD in functie de unghiul A si BCD in functie de unghiul B
$\frac{\sin{A}*AD*AC}{2}=\frac{\sin{B}*BD*BC}{2}\Rightarrow \sin{A}*AC=\sin{B}*BC\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{\sin{B}}{\sin{A}}=x$ notam raportul cu x, si stim valoarea lui x daca stim valorile lui A si B
Exprimam apoi aceleasi arii egale dar in functie de unghiurile ACD,BCD si laturile adiacente
$\frac{\sin{ACD}*CD*AC}{2}=\frac{\sin{BCD}*CD*BC}{2}\Rightarrow \sin{ACD}*AC=\sin{BCD}*BC\Rightarrow \frac{\sin{BCD}}{\sin{ACD}}=\frac{AC}{BC}=x\Rightarrow \sin{BCD}=x\sin{ACD}$
Se poate calcula sinC
$\sin{C}=\sin{(180-(A+B))}=\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}=y$ stim A si B deci toate acele marimi pot fi aflate
mai stim ca
$\angle{C}=\angle{ACD}+\angle{BCD}$
Si atunci stim ca
$\sin{C}=\sin{(ACD+BCD)}=\sin{ACD}\cos{BCD}+\cos{ACD}\sin{ACD}=y$
Daca
$\sin{BCD}=x\sin{ACD}$ atunci
$\cos{BCD}=\sqrt{1-\sin^{2}{BCD}}=\sqrt{1-x^{2}\sin^{2}{ACD}}$
iar
$\cos{ACD}=\sqrt{1-\sin^{2}{ACD}}$ facem si notatia
$\sin{ACD}=z$ si obtinem
$z\sqrt{1-x^{2}z^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}*z*x=y$ Din aceasta relatie, cunosti pe x si y, deci se poate afla z
Odata aflat z, poti sa afli pe ACD
Si atunci $\angle{ADC}=180-\angle{A}-\angle{ACD}$
E o metoda foarte intortocheata, dar e singurul lucru care mi-a venit acum in minte.