Question

Se da cubul ABCD'A'B'C'D', cu muchia de 10 cm si M,N,P mijloacele muchiilor AB, C'D' si, respectiv, A'D'. Calculati:
a) diagonala, aria totala si volumul cubului
b) aria triunghiului MNP
c) cosinusul unghiului dintre planele (MNP) si (ABC)

Answer 1

a) 
AC'=AB√3=10√3 cm
At=6 x AB^2=600 cm2
V=AB^3=1000 cm3
b)
ducem: PR⊥AD, AR=DR, NQ⊥CD, DQ=CQ
AC=A'C'=AB√2=10√2 cm
calculam laturile triunghiului MNP
NP este linie mijlocie in tr. A'C'D' ⇒ NP=A'C'/2=5√2 cm
MR este linie mijlocie in tr. ABD ⇒ MR=BD/2=5√2 cm
pitagora in MPR ⇒ MP=√(PR^2+MR^2)=√(100+50)=5√6 cm
pitagora in MNQ ⇒ MN=√(MQ^2+NQ^2)=√(100+100)=10√2 cm
NP^2=50
MP^2=150
MN^2=200 ⇒ reciproca pitagora ⇒ tr. MNP este dreptunghic in P ⇒ MP⊥NP
aria MNP=MP x NP/2=5√6 x 5√2/2=25√3 cm2
c)
notam cu S mijlocul lui BC
MS este linie mijlocie in tr. ABC ⇒ MS║AC║A'C'║NP ⇒ MS si NP sunt coplanare
MS║PN, MS=PN, ∡MPN=90° ⇒ MPNS este dreptunghi ⇒ (MNP)≡(MPNS)
m∡((MNP);(ABC))=m∡((MPNS);(ABCD))
MS linie comuna
MP⊥MS, MP∈(MPNS)
MR⊥MS, MR∈(ABCD)   - fara detalii -
rezulta ca m∡((MNP);(ABC))=m∡(MP;MR)=m∡PMR
cos (PMR)=MR/MP=5√2/5√6=√3/3