Question

se da ∆ dreptunghic ABC masura unghiului A= 90° si P mijlocul laturii [AC].Daca M este simetricul lui B fata de P atunci demonstrati va ∆ AMC este dretunghic.

Answer 1

[AP]≡[PC] (ipoteza)
[BP]≡[PC] (ipoteza)
din cele 2 de mai sus⇒BAMC patrulat.cu diagonale care se injumatatesc, BAMC paralelogram⇒ΔAMC≡ΔCBA deciΔAMC dreptunghic in C
as simple as that!

Answer 2

Desenăm triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu baza BC (orizontală)

 și  AB < AC.

Marcăm unghiul drept în A și fixăm mijlocul lui AC în P.

Va rezulta că [PA] ≡ [PC]     (1)

Determinăm simetricul lui B față de P.

Ducem BP și prelungim acest segment, dincolo de P, cu PM, astfel încât

[PB] ≡ [PM]      (2)

Unim M cu A și C.

Comparăm ΔPAB cu ΔPCM:

[PA] ≡ [PC]     (1)

[PB] ≡ [PM]     (2)

∡BPA ≡ ∡MPC (opuse la vârf)    (3)


Din relațiile (1), (2), (3) ⇒ ΔPAB ≡ ΔPCM ⇒ ∡PAB ≡ ∡PCM     (4)

Dar, știm că  m(∡PAB) = 90°     (5)

Din relațiile (4), (5) ⇒ m(∡PCM) = 90° ⇒ ΔACM - dreptunghic.