Question

Se da ecuatia |x-2| +m*(x-1) = 2 . Determinati valorile lui m ∈ R

Answer 1

$Analizam~cazurile~x \geq 2~si~x\ \textless \ 2. \\ \\ Cazul~1:~x \geq 2. \\ \\ Rezulta~|x-2|=x-2. \\ \\ |x-2|+m(x-1)=2 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow x-2+mx-m=2=2 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow x(m+1)-m=4 \Rightarrow x= \frac{m+4}{m+1} . \\ \\ Dar~x \geq 2 .~Rezulta~ca~ \frac{m+4}{m+1} \geq 2.$

$a)~m\ \textgreater \ -1 \Rightarrow m+4 \geq 2(m+1) \Leftrightarrow m+4 \geq 2m+2 \Leftrightarrow m \leq 2. \\ \\ Deci~m \in (-1;2]. \\ \\ b)~m\ \textless \ -1 \Rightarrow m+4 \leq 2(m+1) \Leftrightarrow m+4 \leq 2m+2 \Leftrightarrow m \geq 2,~ \\ \\ imposibil!$

$Cazul~2:~x\ \textless \ 2. \\ \\ Rezulta~|x-2|=2-x. \\ \\ |x-2|+m(x-1)=2 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow 2-x+mx-m=2 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow x(m-1)-m=0 \Rightarrow x= \frac{m}{m-1}. \\ \\ Dar~x\ \textless \ 2.~rezulta~ca~ \frac{m}{m-1}\ \textless \ 2. \\ \\ a)~ m\ \textgreater \ 1 \Rightarrow m\ \textless \ 2(m-1) \Leftrightarrow m\ \textless \ 2m-2 \Leftrightarrow m\ \textgreater \ 2 \\ \\ Deci~m \in (2;~+ \infty).$

$b)~m\ \textless \ 1 \Rightarrow m\ \textgreater \ 2(m-1) \Rightarrow m\ \textless \ 2. \\ \\ Deci~m \in (- \infty ; 1).$

$"m"~trebuie~sa~fie~o~solutie~comuna~pentru~cele~doua~cazuri. \\ \\ Deci~\boxed{ \boxed{m \in (-1;1) \}}}.$