Question

Se da functia de gradul al doilea:
f:R → R, f(x) = x² + 5x + 6
Se cer:
a) Coordonatele punctului de extrem al functiei date, precizand tipul acestuia;
b) Studiati monotonia functiei date;
c) Rezolvati inecuatia f(x)<0;
d) Rezolvati ecuatia: f(x)+x+7=4.

Answer 1

$f:\mathbb{R}\to \,\mathbb{R},\,\,f(x) = x^2+5x+6$

a) Coordonatele punctului de extrem al parabolei sunt $\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$.

• f(x) este de forma $ax^2+bx+c$.
• $-\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2\cdot 1} = -\frac{5}{2}$
• $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{5^2-4\cdot 1\cdot 6}{4\cdot 1}=-\frac{1}{4}$

1. Dacă a > 0 ⇒ punct de minim.
2. Dacă a < 0 ⇒ punct de maxim.

Răspuns:  $\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)$ - punct de minim.

b) Monotonia parabolei este delimitată de abscisa vârfului.

Deoarece a > 0, atunci:

• Pentru $x\in \left(-\infty, -\frac{5}{2}\right)$ funcția e strict descrescătoare.
• Pentru $x\in \left(-\frac{5}{2}, +\infty \right)$ funcția e strict crescătoare.

c) Pentru inecuația $x^2+5x+6 < 0$:

$\Delta = 5^2-4\cdot 1\cdot 6 = 25-24 = 1\\\\ x_{1,2} = \dfrac{-5\pm \sqrt{1}}{2} \Rightarrow \left|\begin{aligned}&x_1 = \dfrac{-5-1}{2} = -3\\&x_2 =\dfrac{-5+1}{2} = -2 \end{aligned}\right.$

1. Dacă a < 0:

• Funcția e pozitivă între rădăcini, respectiv negativă în afară.

2. Dacă a > 0:

• Funcția e negativă între rădăcini, respectiv pozitivă în afară.

Răspuns:  $x \in (-3, -2)$.

d) Aduc ecuația la o formă mai simplă:

$f(x)+x+7 = 4 \Rightarrow x^2+5x+6+x+7 =4\\ \Rightarrow x^2+6x+13 = 4\Rightarrow x^2+6x+13-4 = 0\\ \Rightarrow x^2+6x+9 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 0\\\Rightarrow x+3 = 0$

Răspuns:  x = -3.