Question

Se da mulțimea A = {1,2,3,...,500}, determinați câte Nr:
a) sunt divizibile cu 2 sau cu 3 sau cu 5.
b) nu sunt divizibile nici cu 2, nici cu 3, nici cu 5.

Va rog explicați de unde va dat...!

ex: 3 divizibile x.

M3 {3, 6, 9, ... ,498} ; card M3 = ( 498 - 3 ) : 3 + 1 =
= 495:3+1
= 165+1
= 166

Cam ceva de genul daca se poate....​

Answer 1

a. 366

b. 134

Explicație pas cu pas:

Voi enunta urmatoarea teorema si dupa voi rez problema cu ea:

Numarul de multipli de a din multimea {1, 2, ..., n} este catul impartirii lui n la a. Teorema asta e adevarata pt ca daca avem n=a×c+r unde c e catul si r e restul atunci a×c este cel mai mare multiplu de a mai mic sau egal decat n, deci multiplii de a din multime sunt de forma:

a, 2a, 3a, ..., c×a, in total c multipli

Astfel putem afla ca nr de multipli de 2 pana la 500 este 250, nr de multipli de 3 este 166, iar nr de multipli de 5 este 100.

deci rezultatul ar fi 516

Din pacate nu putem sa adunam pur si simplu aceste valori pt ca unii multipli se pot repeta. De exemplu, 6 este si multiplu de 2 si multipli de 2 asa ca l am fi numarat pe 6 de doua ori (o data la M2 si o data la M3).

Din cauza asta trb sa numaram cate nr sunt si M2 si M3(adica M6), si M2 si M5(adica M10) si si M3 si M5(adica M15) si sa le scadem din rez initial

nr de M6 este 83, nr de M10 este 50 si nr de M15 este 33

astfel obtinem 516-83-50-33=350

Totusi mai apare inca o problema. Daca luam numerele care sunt si M2 si M3 si M5(adica M30), atunci le adunam de 3 ori(la M2, la M3 si la M5), dar le si scadem de 3 ori(la M6, la M10 si la M15), deci trb sa calculam cati M30 sunt si sa ii mai adaugam o data la rezultat.

nr de M30 este 16

deci rez final este 350+16=366 de numere de la 1 la 500 care sunt divizibile cu 2, 3 sau 5.

Daca nu sunt divizibile nici cu 2 nici cu 3 nici cu 5 inseamna ca nu le am numarat la punctul a deci putem lua nr total de numere(500) si sa scadem din el cate nr sunt divizibile cu 2,3 sau 5(366). Astfel obtinem 500-366=134