Question

Se da numarul 12345678910111213.......2014. Stabiliti daca este patrat perfect.
Multumesc!

Answer 1

o sa notez U() =ultima cifra a ce e in paranteza (ex: U(14) =4)
 si U2() =ultimilie 2 cifre a ce e in paranteza (ex: U2(1425)=25)
ce vreau sa arat:
orice 2 numere(identice) am inmulti, nu pot obtine un numar ce are ultimile 2 cifre 14.
presupun ca exista astfel de numere.
numarul tau are ultima cifra 4.
numerele ce se inmultesc cu ele insasi ce dau ultima cifra 4 sunt numerele ce se termina in 2 sau 8 .

deci numere sunt de forma x2 sau x8 (cu bara deasupra) 
cum 13=10*1+3 =>
=> x2 =10*x+2 
caut numerele astfel incat U2(x2*x2)=14 sau U2(x8*x8)=14
deci:
U2(x2*x2)=14 <=>
<=>U2((10*x+2 )*(10*x+2 )) =14<=>
<=>U2(100*x^2 +4+40*x)=14 <=>
cum 100*x^2 da un numar ce are ultimile 2 cifre 00,  il putem scoate(nu afecteaza raspunsul)
<=>U2(40*x)=10<=>
<=>U(4*x)=1 (imposibil)
U2(x8*x8)=14<=>
<=>U2((10*x+8 )*(10*x+8 )) =14 <=>
<=>U2(100*x^2+64+160*x)=14 <=>
<=>U2(60+60*x)=10 <=>
<=>U(6+6*x)=1 (imposibil)
deci presupunerea facuta este falsa =>
=> nu exista numar ce inmultit cu el insasi sa dea ultimile 2 cifre 14.
=> numarul tau nu este patrat perfect)