Question

Se da numarul A=5 la putrea n + 6 la puterea n² + 7 la puterea n² +n , inde n este numar natural nenul. a)Aratati ca n la puterea 2 + n este numar par b)aflati ultima cifra a numarului A​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

n²+n = n(n+1) este produsul a două numere consecutive => număr par

b)

$A = 5^{n} + 6^{n^{2}} + 7^{n^{2}+n} = 5^{n} + 6^{n^{2}} + 7^{n(n + 1})$

Numerele naturale care au ultima cifră 5 sau 6 ridicate la orice putere n, n ∈ N*, au ultima cifră tot 5 respectiv 6.

$u(5^{n}) = u(5) = 5$

$u(6^{n^{2}}) = u(6) = 6$

atunci:

$u(A) = u(5^{n} + 6^{n^{2}} + 7^{n(n + 1)}) = u(u(5^{n}) + u(6^{n^{2}}) + u(7^{n(n + 1)})) = u(5 + 6 + u(7^{n(n + 1)})) = u(11 + u(7^{n(n + 1)}))$

Ultima cifră a puterilor lui 7 se repetă din patru în patru, în funcție de resturile împărțirii exponentului puterii la 4.

$u(7^{1}) = u(7) = 7$

$u(7^{2}) = u(49) = 9$

$u(7^{3}) = u(343) = 3$

$u(7^{4}) = u(2401) = 1$

deoarece exponentul lui 7 este număr par (conform punctului a) ), ultima cifră poate fi 9 sau 1

$u(A) = u(11 + 9) = u(20) = 0$

sau

$u(A) = u(11 + 1) = u(12) = 2$