Question

Se da paralelogramul ABCD in care AD congruent cu DB si M mijlocul laturii DC.Perpendiculara din C pe dreapta BD intersecteaza pe BM in P.Demonstrati ca AD perpendicular pe DP

Answer 1

Vezi desen atasat.
Daca AD=DB=> ΔADB este isoscel
Dacr AD=BC pt ca ABCD este paralelogram
=> BD=BC=> ΔBCD este isoscel si este =ΔDAB

in ΔBDC, daca M este mijlocul laturii DC, cf proprietatilor Δisoscel, BM_|_CD

Daca P=BM intersectat cu perpendiculara din C pe BD,  atunci P este ortocentru in ΔBCD.
= >DP=PC
fie DN _|_BC (DN este inaltime in ΔBDC, si trece prin ortocentrul P)

In ΔDBN , avem <DNB=90=> <NDB+<DBN=90
Dar <DBN=<BDA ( am demonstrat mai sus congruenta triunghiurilor DAB si BDC)
De vreme ce P se afla pe dreapta DN=>

=> <PDB+<ADB=90=> AD_|_ DP