Question

Se dă paralelogramul ABCD. O dreaptă ce trece prin D intersectează [AC] în G, [AB] în E și [CB în F. Demonstrați că GD la puterea a 2-a=GE×GF. (vă rog să mă ajutați și cu desenul!!)

Answer 1

Desenăm paralelogramul ABCD, pe care-l notăm în sens trigonometric, începând din stânga sus. Ducem diagonala AC, iar prin punctul D ducem dreapta d care intersectează dreapta AC în G (în exteriorul paralelogramului)

Dreapta d intersectează BC în F și AB în E.

$\it In\ \Delta GEA\ \Rightarrow CD||AE \stackrel{T.Thales}{\Longrightarrow}\ \dfrac{GD}{DE} = \dfrac{GC}{CA}\ \ \ \ (1) \\ \\ \\ In\ \Delta GDA\ \Rightarrow CF||AD \stackrel{T.Thales}{\Longrightarrow}\ \dfrac{GF}{FD} = \dfrac{GC}{CA}\ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow \dfrac{GD}{DE}=\dfrac{GF}{FD} \Rightarrow \dfrac{GD}{GE-GD}=\dfrac{GF}{GD-GF} \stackrel{derivare}{\Longrightarrow}\\ \\ \\ \\\Rightarrow \dfrac{GD}{GE-GD+GD}=\dfrac{GF}{GD-GF+GF}\Rightarrow \dfrac{GD}{GE}=\dfrac{GF}{GD}\Rightarrow$

$\it \Rightarrow GD^2=GE\cdot GF$