Question

Se da polinomul f = x la 3+ x la 2+mx+m, m apartinele lui R
Aratati ca f se divide cu x+1, pentru orce m.
Determinati m pentru care x1 la 2 +x2 a 2+ x3 la 2= 11
m= -6

Answer 1

$f(x)=x^3+x^2+mx+m$

Din teorema lui Bezout, daca f se divide cu x+1 inseamna ca -1 este solutie a polinomului, adica
$f(-1)=0$

Verificam

$f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+m(-1)+m=-1+1-m+m=0$
Am demonstrat ca -1 este solutie deci polinomul se divide cu x+1.

Pentru partea a doua screim primele 2 relatii ale lui Viette:

$S_1=x_1+x_2+x_3=-1$

$S_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m$

Pentru a calcula $x_1^2+x_2^2+x_3^2$

vom calcula $S_1^2-2S_2$
adica
$x_1^2+x_2^2+x_3^2 =(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$
Deci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1-2m$

Problema ne impune ca $-1-2m=11$  deci $m=-6$