Question

Se da polinomul: $x^{3} - x + a$

Sa se afle a, astfel incat polinomul sa aiba radacini intregi. [daca se poate putina explicatie la rezolvare ar fi ideal]

Answer 1

Din relaţiile lui Viette, avem:

$x_{1}+x_{2}+x_{3} = - \frac{b}{a}= - \frac{0}{1} = 0$
$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3= \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$

$x_1^2+x_2^2+x_3^2= (x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$

$=> x_1^2+x_2^2+x_3^2= 0^2 - 2(-1)=2$

Dacă suma pătratelor lor e 2, este clar că cel puţin una din rădăcini trebuie să fie 0.

$x_1=0 => f_{(x_1)}=0 => f_{(0)}=0$

$0^3 - 0 + a =0 => a=0$