Question

Se dă polinomul : x^3-x+a .
Arătați că x1^2+x2^2+x3^3=2, x1,x2,x3-radacinile polinomului.

Answer 1

Salut,

Scriem relațiile lui Viete pentru ecuația P(X) = 0, adică pentru:

X³ -- X + a = 0. Ecuația mai poate fi scrisă așa:

X³ +0·X² -- X + a = 0.

Relațiile lui Viete sunt:

x₁ + x₂ + x₃ = --0/1 = 0, deci x₁ + x₂ + x₃ = 0 (1).

x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = --1/1 = --1, deci x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = --1 (2).

Știm formula de calcul prescurtat:

(x₁ + x₂ + x₃)² = x₁² + x₂² + x₃² + 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃), deci:

x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² -- 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃).

Folosim relațiile (1) și (2):

x₁² + x₂² + x₃² = 0² -- 2·(--1) = 2, deci x₁² + x₂² + x₃² = 2,

ceea ce trebuia demonstrat.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.