Question

Se da produsul P=1*2*3*....*2010*2011.
Determinati in cite cifre de 0 se termina produsul P.
Eliminind di produs toti multipli de 2 si 5, aflati ultima cifra a numarului

Answer 1

precizez pt  a scrie mai prescurtat ca 5 ! =1*2*3*4*5 (si se spune 5 factorial)
deci tu ai P=1*2*3*...*2011 => P=2011!
pentru a afla in cate 0-ouri se termina 2011! trebuie sa stim cate 'cupluri' de 2*5 avem.
cum nr multiplu de 2 este mai mare decat nr multimplu de 5=> trebuie doar sa aflam cati multipli de 5 sunt in 2011! =>
2011:5 =402 (multipli de 5)=> sunt 402 de 5
2011:5^2 =2011:25=80(multipli de 5^2)
2011:5^3 =2011:125=16 (multipli de 5^3)
2011:5^4=2011:625 =3 (multipli de 5^4) 
=> avem 402+80+16+3=501 de 5 => nr P=2011! se termina in 501 de 0.

daca elimini multipli de 2 si 5 => elimini numerele pare, si cele ce se termina in 5 => mai raman nr ce au ultima cifra 1,3,7,9 
cum nr ce au ultima cifra 1 inmultit cu orice alt numar da ultima cifra a acelui nr=> putem elimina numerele ce au ultima cifra 1 (doarece nu influenteaza rezultatul) => mai ramane sa vedem cat e ultima cifra din nr ce au ultima cifra 3,7,9
adica avem : 3*7*9*13*17*19*23*27*29...*2007*2009
observam ca la fiecare 10 numere scriem doar 3 nr.
adica de la 1-10 am scris doar 3,7,9
          de la 11-20 am scris doar 13,17,19
............de la 2000 -2010 am scris doar 2003,2007 , 2009
=> avem 2010 :10 =201 grupuri a cate 3 numere
cum ne intereseaza doar ultima cifra =>
U(3*7*9*13*17*19*23*27*29...*2007*2009) =U((3*7*9) *(3*7*9)*...*(3*7*9))
avand cate 201 grupuri de 3*7*9 => U((3*7*9) *(3*7*9)*...*(3*7*9))=
=U( 3^201  *7^201 *9^201 ) =U( (3^4)^50 *3 *(7^4)^50 *7 *(9^4)^50 *9 ) =
=U(1*3 *1*7 *1*9) =U (3*7*9) =U (21*9) =U(1*9) =9