Question

Se da rombul ABCD,cu BD=6cm si A=60° .Determinati perimetrul rombului si toate unghiurile acestora​

Answer 1

Ipoteză:

Rombul ABCD

BD = 6 centimetri

m(∡A) = 60°

––––––––––/–––

Concluzie:

Perimetrul rombului = ?

Măsura unghiurilor rombului = ?

––––––––––//–––

$\space$

Punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD este O ⇒ AC ∩ BD = {O}

Rombul are multe proprietăți importante, dar vom folosi doar câteva pentru rezolvarea exercițiului.

• toate laturile unui romb sunt congruente
• orice romb are unghiurile opuse congruente
• suma măsurilor tuturor unghiurilor unui romb este de 360°
• diagonalele sunt bisectoare pentru unghiuri
• diagonalele sunt perpendiculare

$\space$

Știind că diagonalele sunt bisectoare pentru unghiuri, ne vom uita pe desenul cu rombul ABCD și vom constata că diagonala AC este bisectoarea ∡A.

[AC] bisectoarea ∡A ⇒ unghiul A va fi împărțit în două unghiuri congruente ∡BAO și ∡DAO.

m(∡BAO) = m(∡DAO) = 60° : 2 = 30°

$\space$

Folosim sinus de 30° în triunghiul BAO, deoarece triunghiul BAO este dreptunghic în ∡O, deoarece într-un romb diagonalele sunt perpendiculare.

$\bf sin = \frac{cateta \: opusa}{ipotenuza} \Leftrightarrow \\ \\ \bf \Leftrightarrow sin \: A = \frac{OB}{AB} \Leftrightarrow \\ \\ \bf \Leftrightarrow sin \: 30 = \frac{3}{AB} \Leftrightarrow \\ \\ \bf \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{3}{AB} \Leftrightarrow \\ \\ \bf \Leftrightarrow AB = 2 \times 3 \implies \bf AB = 6 \: centimetri$

$\space$

Pentru că toate laturile unui romb sunt congruente perimetrul rombului are următoarea formulă:

Perimetrul rombului = 4 × latura ⇔

Perimetrul rombului = 4 × 6 centimetri ⇔

Perimetrul rombului = 24 de centimetri

$\space$

Știind că orice romb are unghiurile opuse congruente vom putea afla măsura unghiului C.

m(∡A) = m(∡C) = 60°

m(∡B) = m(∡D)

Suma măsurilor tuturor unghiurilor unui romb este de 360°, deci: m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) + m(∡D) = 360° ⇔

60° + m(∡B) + 60° + m(∡D) = 360° ⇔

120° + m(∡B) + m(∡B) = 360° ⇔

120° + 2m(∡B) = 360° ⇔

2m(∡B) = 360° - 120° ⇔

2m(∡B) = 240° ⇔

m(∡B) = 240° : 2 ⇔

m(∡B) = m(∡C) = 120°

Succes și spor la teme! :)