Question

Se da sirul (an)n>=1,dat de relatia de recurenta:a1=4,an+1=an+2n+3,n>=1.Sa se arate pentru oricare n€N* numerele an sunt pătrate perfecte.

Answer 1

a_2 = 4 + 2*1 + 3

a_3 = a_2 + 2*2 + 3

...

a_(n-1) = a_(n-2) + 2*(n-2) + 3

a_n = a_(n-1) + 2*(n-1) + 3

a_(n+1) = a_n + 2*n + 3

Dacă aduni toate aceste "n" relații membru cu membru, obții:

a_(n+1) = 4 + 2*(1+2+..+n) + 3n = 4 + 2*n*(n+1)/2 + 3n = n² + 4n + 4 = (n+2)² = (n + 1 + 1)²

a_(n+1) = (n + 1 + 1)², deci a_n = (n + 1)², care este pătrat perfect.

Green eyes.