Question

Se dă șirul numeric:1,4,9,16,25,...
a)Scrieți încă 5 elemente al șirului;
b)Arătați că produsul a 2015 elemente este pătrat perfect;
c)Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:
p1:„Produsul a 2015 elemente al șirului este un număr divizibil cu 2015.”
p2:„Există cel puțin 2015 cuburi perfecte în șir.”
Argumentați răspunsul.

Answer 1

$a)~Observam~ca~t_n=n^2,~unde~prin~t_n~se~intelege~al~n-lea \\ \\ termen~al~sirului. \\ \\ Deci~urmatorii~termeni~ai~sirului~sunt~36,49,64,81~si~100. \\ \\ b)~Deoarece~fiecare~termen~al~sirului~este~patrat~perfect,~va \\ \\ zulta~ca~produsul~oricaror~termeni~este~patrat~perfect. \\ \\ Prin~urmare~produsul~a~2015~elemente~este~patrat~perfect.$

$c)~P_1:~Adevarat,~deoarece~produsul~primelor~2015~elemente \\ \\ il~contine~si~pe~t_{2015}=2015^2.~Concluzia~rezulta~din~faptul \\ \\ ca~2015~se~regaseste~ca~factor~in~acest~produs, \\ \\ P_2:~Adevarat.~Numerele~de~forma~k^6~sunt~simultan~patrate \\ \\ perfecte~si~cuburi~perfecte.~Sirul~contine~o~infinitate~de~numere \\ \\ de~forma~k^6~(deoarece~toate~sunt~p.p.)~si~deci~o~infinitate~de~ \\ \\ cuburi~perfecte~(cel~putin~2015).$

$\underline{Comentarii}:~Aceasta~problema~este~foarte~slaba~si~uite~si~de~ce: \\ \\ -la~punctul~b)~nu~s-a~precizat~ca~este~vorba~de~primii~2015~ \\ \\ termeni,~sau~macar~ca~cei~2015~termeni~sunt~cosecutivi~(caz~in~care \\ \\ se~folosea~faptul~ca~dintre~"n"~numere~naturale~consecutive~exact~ \\ \\ unul~este~divizibil~cu~n) -~se~intelege~astfel~ca~produsul~oricaror~ \\ \\ 2015~factori~este~divizibil~cu~2015,~fals!$

$-~cerinta~de~la~c)~este~prea~evidenta~(demonstrati~ca~produsul \\ \\ a ~2015~factori,~dintre~care~unul~dintre~ei~este~egal~cu~2015~ \\ \\ este~divizibil~cu~2015.~Ar~fi~fost~mai~bine~daca~s-ar~fi~cerut \\ \\ sa~se~demonstreze~ca~produsul~primilor~31~termeni~este~divizibil~cu~ \\ \\ 2015. \\ \\ -la~p_2~ar~fi~fost~ok~sa~nu~fi~fost~vorba~de~intreg~sirul,~ci \\ \\ doar~de~cativa~$