Question

Se dă triunghiul ABC, cu m(BAC) = 120° şi BC =
8√3 cm.
a) Calculați AC;
b) Calculaţi distanţa de la C la dreapta AB;
c) Calculați lungimea medianei care pornește din B;

Answer 1

ΔABC isoscel

∡BAC=120°⇒ ∡ABC=∡ACB=30°

BC=8√3 cm

Ducem AD⊥BC

D mijlocul lui BC

BD=DC=4√3 cm

∡DAC=60°

Conform teoremei unghiului de 30° (latura care se opune unghiului de 30° este egala cu jumatate din ipotenuza)

AD=AC:2

AC=2AD

Aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

AC²=AD²+DC²

4AD²=AD²+48

48=3AD²

AD²=16

AD=4 cm⇒AC=8 cm

Fie d(C,AB)=CE

∡CAE=180-120=60°

⇒ ∡ACE=30°⇒ AE=AC:2

AE=4 cm

Aplicam Pitagora

AC²=AE²+CE²

64=16+CE²

CE²=48

CE=4√3 cm

Fie BM mediana in ΔABC

AM=MC=4 cm

$A_{ADC}=\frac{AD\cdot DC}{2} =\frac{4\cdot4 \sqrt{3} }{2} =8\sqrt{3\ cm^2}$

Mediana imparte triunghiul in doua arii egale

$A_{ABC}=16\sqrt{3} \ cm^2$

$A_{ABM}=A_{BMC}=8\sqrt{3} \ cm^2$

Ducem MN⊥BC

M mijlocul lui AC

MN║AD⇒MN linie mijlocie in ΔCAD⇒ MN=AD:2

MN=2 cm

Aplicam Pitagora

MC²=MN²+NC²

16=4+NC²

NC=2√3 cm

BN=BC-NC=6√3 cm

Aplicam Pitagora inΔBMN

BM²=MN²+BN²

BM²=4+108

BM²=112

BM=4√7 cm

Un alt exercitiu de geometrie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4007947

#SPJ1