Question

Se da triunghiul dreptunghic ABC, m (A)=90 de grade si P pe segmentul BC. Perpendiculara in P pe dreapta BC INTERSECTEAZA AC in M si AB in T. Demonstrati ca dreptele BM si TC sunt perpendiculare.

Answer 1

presupun ca stii teoria cercului si masura unghiurilor cu varful pe cerc.
prelungim BM pana intersecteaza TC in E, E∈TC
observam ca punctele T; A; P; C se afla pe un cerc cu diametrul TC, triunghiurile dreptunghice CAT si TPC se inscriu in semicerc.

1)  ∡PTC=∡PAC pentru ca au varfurile pe cerc si au aceiasi masura 1/2 din arcul PC

punctele B; A; M; P se afla pe cercul cu diametrul BM, triunghiurile dreptunghice BAM si BPM se inscriu fiecare intr-un semicerc.

2)  ∡PAM (PAC) = ∡MBP pentru ca au varfurile pe cerc si au aceiasi masura 1/2 din arcul MP
din relatiile 1) si 2) rezulta:
3)  ∡PTC=∡MBP

triunghiurile BMP si TME sunt asemenea pentru ca au 2 unghiuri respectiv congruente:
∡BMP=∡TME opuse la varf
si cu relatia 3) rezulta ca:
∡BPM=90=∡TEM ⇒BE⊥TC