Question

Se da un triunghi ABC, unde b^2 + c^2 = 2*a^2 si A=30 de grade.
Sa se calculeze cos2B + cos2C.

Nu am facut mult, doar am ajuns la a^2 = bc* radical(3).
Va rog, o idee, ceva, nu imi trebuie rezolvarea completa. Multumesc!

Answer 1

b² + c² = 2a²
se duc BB'_|_AC si CC'_|_AB
in ΔABB'  (mas<A = 30*)    BB' = AB/2 = c/2          AB' = c√3 / 2
in Δ BB'C
B'C² = a² - c²/4
sinC = BB'/a = c/2a      cosC = B'C/a = √(4a² - c²) /2a
cos2C = cos²C - sin²C = (4a² - c²)/4a² - c² / 4a² = (4a² -2c²) /4a² = (2a² - c²) 2a²
in Δ ACC'        CC' = b/2       AC' = b√3 /2    BC' = √(a² - b²/4) = √(4a² -b²) / 2
sinB = CC'/a = b/2a    cosB = BC'/a = √(4a² - b²) /2a
cos2B = (4a² -b²) / 4a² - b² /4a²  = (4a² - 2b²) /4a² = (2a² - b²) /2a²
cos2B + cos2C = (2a² - b² + 2a² - c²) /2a² = (c² + b²) / 2a² = 2a² / 2a² = 1