Question

Se dau 2011 numere, fiecare dintre ele fiind egal cu 1 sau -1. Pot fi distribuite aceste numere in doua grupe, astfel incit sumele numerelor din aceste grupe sa fie egale?

Answer 1

Presupunem ca este posibil;atunci

fie x, numarul de 1 si y , numarulde -1

fie x1 si y1 numarulde 1 , rerspectiv -1 din prima grupa si

x2, y2 numerele de 1 si respectiv -1 cele din a doua grupa

atunci

x1+y1+x2+y2=suma de 2011 numere1 si -1

x1+y1=x2+y2=p

atunci

p+p=suma de 2011 numere  de 1 si-1

2p=suma de 2011 numere  de 1 si-1

2p este par, deci si suma de 2011 numere  de 1 si -1 trebuiesa fie para

ca sa fie para trebuie sa avem un numar par de 1 sau de -1 in plus

si un numar egal de 1 si , respectiv , de -1 care sa se reduca ceea ce inseamna, la 2 numere egale,  in total alt numar par, la toate cele ce se reduc

deci 2011 suma de 2 numre pare , deci par

contradictie;

deci presupunerea noasta, ca se poate, este gresita;

deci este adevarata contrara ei, si anume ca NU ESTE POSIBIL.