Question

Se dau functiile f g : ( 0 , + ∞ ) -> R , f( x ) = arctg x , g( x ) = arctg( -1/x ) . Sa se arate ca f-g este constanta . Daca se poate , scrieti rezolvarea acestui exercitiu cu teorema lui Lagrange si/sau consecintele ei va rog frumos ! Multumesc !

Answer 1

f(x) - g(x) = arctg(x) - arctg(-1/x) = arctg(x) + arctg(1/x) = arctg((x+1/x)/(1-x•1/x)) =

= arctg((x+1/x)/(1-1)) = arctg((x+1/x)/0)

Dar x > 0 => x+1/x > 0

f(x) - g(x) = arctg((x+1/x)/(0)) = arctg(+ꝏ) = π/2

=> f(x) - g(x) = π/2 -> constantă.