Question

Se dau matricele pătratice A și B. Să se rezolve în M2 (R), ecuația matriceală: B•X•B=A. ( se poate rezolva fără determinanți și inversa unei metrici? dacă da, promit că îți dau coroană!)​

Answer 1

Salut,

$Fie\ X=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}.\ Avem\ c\breve{a}:\\\\ B\cdot X\cdot B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+c & 2b+d \\ a+c & b+d\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}4a+2c+2b+d & 2a+2b+c+d \\ 2a+2c+b+d & a+b+c+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$

Avem 4 ecuații cu 4 necunoscute:

4a + 2c + 2b + d = 1

2a + 2b + c + d = 5

2a + 2c + b + d = 0

a + b + c + d = 1

Din a treia ecuație avem că:

a + c = --(b + d)/2 (1), folosim asta în a patra ecuație și avem că:

b + d -- (b + d)/2 = 1, deci b + d = 2 (2).

Din relațiile (1) și (2) avem că:

a + c = --1 (3).

A doua relație a sistemului de mai sus poate fi scrisă așa:

a + b + (a + b + c + d) = 5, sau a + b + 1 = 5, deci a + b = 4, deci b = 4 -- a (4).

Prima relație a sistemului de mai sus poate fi scrisă așa:

2a + 2(a + c) + b + b + d = 1 sau 2a --2 + b + 2 = 1, deci 2a + b = 1 (5).

Folosim relația (4) în relația (5):

2a + 4 -- a = 1, deci a = --3 (6).

Relația (3): --3 + c = --1, deci c = 2 (7).

Relația (5): --6 + b = 1, deci b = +7 (8).

Relația (2): 7 + d = 2, deci d = --5 (9).

Matricea X este deci:

$X=\begin{pmatrix}-3 & 7 \\ 2 & -5\end{pmatrix}.$

Am efectuat și proba (nu o mai scriu aici), rezolvarea este corectă.

Ai înțeles rezolvarea ? :-))).

Green eyes.