Question

Se dau punctele necoplanare A, B, C, D. Sa se demonstreze că dreapta a care trece prin mijloacele segmentelor AB şi DC, dreapta b ce trece prin mijloacele segmentelor AD şi BC şi dreapta c care trece prin mijloacele segmentelor AC si DB au un punct comun.
Ajutați-mă la demonstrație va rog..

Answer 1

desenul este reprezentarea unei piramide.
sa zicem  ABC baza si D varful (poti alege baza si varful cum vrei)
notam:
M mijlocul lui AB
N mijlocul lui DC
Q mijlocul lui BC
P mijlocul lui AC
R mijlocul lui BD
S mijlocul lui AD

in tr. ABD, SR linie mijlocie  ⇒ SR=AB/2, SR║AB
in tr. ABC, PQ linie mijlocie ⇒ PQ=AB/2, PQ║AB
deci  SR║PQ si SR=PQ ⇒SPQR este paralelogram  deci:
diagonalele SQ si PR sunt concurente in O, SQ e pe (b) si PR e pe (c)

acelasi rationament pentru tr. ADC   si ABC
in tr. ADC SN linie mijlocie, SN=AC/2, SN║AC
in tr. ABC MQ linie mijlocie, MQ=AC/2, MQ║AC
rezulta ca SN║MQ si SN=MQ deci SNQM e paralelogram
diagonalele SQ si NM se intersecteaza la jumatate SQ/2=OS=OQ
diagonala SQ e pe (b) si diagonala MN e pe (a)
in concluzie (a),(b) si (c) sunt concurente in O
nu stiu daca te-ai prins mai ales la al 2-lea paralelogram care are o diagonala comuna cu primul diagonala SQ

fa-ti o figura cat mai mare si urmareste cu atentie rezolvarea. totul se rezuma la linia mijlocie, teorema acoperisului si proprietatile paralelogramului.
te lamuresc daca e cazu