Question

Se notează cu P mulțimea numerelor naturale care au exact 4 divizori.
a) Câte numere naturale mai mici decât 96 se afla în Mulțimea P?
b) Câte numere naturale din mulțimea P au suma divizorilor naturali 96?​ ​

Answer 1

Răspuns:

$\boxed{\boxed{\bigg[ \bf card\; P = 32 \bigg] }} \;\;\;\;\;\bf (a)$

$\boxed{\boxed{\bigg[\bf card\; X = 3\bigg]}} \;\;\;\; \bf (b)$

Explicație pas cu pas:

1. Eliminăm din problema numerele prime care au doi divizori:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89

2. Pentru a afla numărul de divizori ai unui număr îl descompunem în factori primi:

$\bf x=p_1 ^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot p_3^{k_3} \cdot ... \cdot p_{n}^{k_n}$

$\bf unde \; x \in \mathbb{N} \;\;\;\;\ Fie : N-numarul \; de \; divizori$

$\bf N = (k_1 +1)(k_2 +1)(k_3+1)\cdot ... \cdot ( k_n +1)$

3. Căutăm intai un cub perfect mai mic decât 96 care are numărul de divizori 4 :

analizând formula ⇒ că avem nevoie de exponentul 3.

$\bf 1^3 = 1 \implies nu \; convine$

$\bf 2^3 = 8 \implies D_8=\{1;2;4;8\} -convine$

$\bf 3^3 = 27 \implies D_{27} = \{1;3;9;27\} -convine$

$\bf 4^3 = 64 \implies D_{64}=\{1;2;4;8;16;32;64\}-nu \; convine$

$\bf 5^3 =125-nu\; convine$

4. Incercam descompunerea eliminand numerele prime:

$\bf 4=2^2 \rightarrow (2+1)=3 - nu \; convine$

$\bf 6=2^1\cdot 3^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 -convine$

$\bf 9= 3^2 \rightarrow (2+1)=3 - nu \; convine$

$\bf 10 = 2^1 \cdot 5^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 - convine$

$\bf 12= 2^2 \cdot 3^1 \rightarrow (2+1)(1+1) = 6 - nu \; convine$

$\bf 14=2^1 \cdot 7^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4 -convine$

$\bf 15=3^1 \cdot 5^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4 -convine$

$\bf 16=2^4 \rightarrow (4+1)=5 - nu\; convine$

$\bf 18=2 \cdot 3^2 \rightarrow (1+1)(1+2)=6 - nu \; convine$

$\bf 20=2^2 \cdot 5^1 \rightarrow (2+1)(1+1)=6 - nu \; convine$

$\bf \implies \boxed{\bf P_{\leq 20 \; \in \; N } = \bigg\{6;8;10;14;15 \bigg\}}$

$\bf 21= 3^1 \cdot 7^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 -convine$

$\bf 22 = 2^1 \cdot 11^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4-convine$

$\bf 24=2^3 \cdot 3 \rightarrow (3+1)(1+1) = 8 -nu \; convine$

$\bf 25=5^2 \rightarrow (2+1)=3 - nu \; convine$

$\bf 26= 2^1 \cdot 13^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4 -convine$

$\bf 28=2^2 \cdot 7^1 \rightarrow (2+1)(1+1) = 6-nu \; convine$

$\bf 30 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \rightarrow (1+1)(1+1)(1+1) = 8-nu \; convine$

$\implies \boxed{\bf P_{20\; \leq \; 30 \; \in \; N} =\bigg\{21;22;26;27\bigg\} }$

$\bf 32= 2^5 \rightarrow (5+1)=6 - nu \; convine$

$\bf 33=3^1 \cdot 11^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4-convine$

$\bf 34=2^1 \cdot 17^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 - convine$

$\bf 35 = 5^1 \cdot 7^1 \rightarrow (1+1)(1+1) = 4 -convine$

$\bf 36= 2^2 \cdot 3^2 \rightarrow (2+1)(2+1)= 9-nu\; convine$

$\bf 38=2^1 \cdot 19^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4-convine$

$\bf 39=3^1 \cdot 13^1 \rightarrow (1+1)(1+1)=4-convine$

$\bf 40=2^3 \cdot 5^1 \rightarrow (3+1)(1+1)=8-nu \; convine$

$\implies \boxed{\bf P_{30\; \leq \; 40 \; \in \; N}=\bigg\{33;34;35;38;39\bigg\} }$

Și descompui așa mai departe pana vei afla mulțimea P...acum voi scrie doar ce convine deoarece ar dura foarte mult.

$\implies \boxed{\bf P_{40\; \leq \; 70 \; \in \; N} = \bigg\{46; 51;55;57;58;62;65;69\bigg\} }$

$\boxed{\bf P_{70\; \leq\; 95 \; \in \; N} = \bigg\{ 74;77;82;85;86;87;91;93;94;95\bigg\} }$

$\bf \implies \boxed{\boxed{\bigg[ \bf card\; P = 32 \bigg] }}$

$\bf \;$

$\bf D_6=\{1;2;3;6\} \rightarrow S=12$

$\bf D_8=\{1;2;4;8\} \rightarrow S=15$

$\bf D_{10} = \{1;2;5;10\} \rightarrow S=18$

$\bf D_{14} = \{1;2;7;14\} \rightarrow S=24$

$\bf D_{15}=\{1;3;5;15\} \rightarrow S=24$

$\bf D_{21}=\{1;3;7;21\} \rightarrow S=32$

$\bf D_{22}=\{1;2;11;22\} \rightarrow S=36$

$\bf D_{26}=\{1;2;13;26\} \rightarrow S=42$

$\bf D_{27}=\{1;3;9;27\} \rightarrow S=40$

$\bf D_{33}=\{1;3;11;33\} \rightarrow S=48$

$\bf D_{34}=\{1;2;17;34\} \rightarrow S=54$

$\bf D_{35}=\{1;5;7;35\} \rightarrow S=48$

$\bf D_{38}=\{1;2;19;38\} \rightarrow S=60$

Și continui așa mai departe cu toți divizorii numerelor din mulțimea P - ar dura foarte mult așa ca trec direct la cazurile favorabile.

$\boxed{\bf D_{62}=\{1;2;31;62\} \rightarrow S=96}$

$\boxed{\bf D_{69}=\{1;3;23;69\} \rightarrow S=96}$

$\boxed{\bf D_{77}=\{1;7;11;77\} \rightarrow S=96}$

Avem X = { 62 ; 69 ; 77 } - 3 numere care indeplinesc cerinta

$\implies \boxed{\boxed{\bigg[\bf card\; X = 3\bigg]}}$

#copaceibrainly