Question

Se se afle valoarea nr. real m pentru care f:R-G* ,F(x)=x+m , unde G=R\{3} este izomorfism intre grupurile (R*,.) (G, *) cu x*y=xy-3x-3y+12.

Answer 1

Răspuns:

Logic e sa luam m=3, adica f(x)=x+3.

Mai ramane de vazut ca e izomorfism de grupuri, adica:

1. f e bijectiva.

Daca f(x)=f(y) => x+3=y+3 => x=y ; deci f e injectiva.

Fie $y\in G$. Daca f(x)=y, atunci x+3=y, deci x=y-3.

Cum $y\neq 3$ rezulta ca $x=y-3\neq 0$. Deci pentru orice $y\in G$, avem $x=y-3\in \mathbb R^*$ astfel incat f(x)=y; deci f e surjectiva.

2. f e morfism de grupuri.

Trebuie verificat ca $f(x\cdot y)=f(x)*f(y)$ pentru orice $x,y\in G$.

Avem f(xy)=xy+3.

Pe de alta parte, $f(x)*f(y)=(x+3)*(y+3)=(x+3)(y+3)-3(x+3)-3(y+3)+12=xy+3x+3y+9-3x-9-3y-9+12=xy+3$