Question

Se știe că A=a+5×b, unde a și b sunt numere naturale diferite de 0.
Dacă A se poate afla din egalitatea 7×(A:4×3)+2×(A:4×3)=189, găsește numerele a și b.
Câte soluții are problema?​

Answer 1

Rezolvăm egalitatea și îl aflăm pe A:

$7 \times (A : 4 \times 3) + 2 \times (A : 4 \times 3) = 189$

• factor comun:

$(A : 4 \times 3) \times (7 + 2) = 189$

$(A : 4 \times 3) \times 9 = 189$

$A : 4 \times 3 = 189 : 9$

$A : 4 \times 3 = 21$

$A : 4 = 21 : 3$

$A : 4 = 7$

$A = 7 \times 4$

$\implies A = 28$

• știm că A = a + 5×b, unde a și b sunt numere naturale diferite de 0

$a + 5 \times b = 28 \iff a = 28 - 5 \times b$

• deducem că b nu poate fi mai mare de 5 (daca b  =6 atunci a = 28 - 5×6 = 28 - 30 < 0

• avem următoarele posibilități:

$b = 1 \iff a = 28 - 5 \times 1 = 28 - 5 \implies a = 23$

$b = 2 \iff a = 28 - 5 \times 2 = 28 - 10 \implies a = 18$

$b = 3 \iff a = 28 - 5 \times 3 = 28 - 15 \implies a = 13$

$b = 4 \iff a = 28 - 5 \times 4 = 28 - 20 \implies a = 8$

$b = 5 \iff a = 28 - 5 \times 5 = 28 - 25 \implies a = 3$

⇒ problema are 5 soluții:

(a;b) = (3;5), (8;4), (13;3), (18;2), (23;1)

Answer 2

$\it 7(A:4\cdot3)+2(A:4\cdot2)=189 \Rightarrow 9(A:4\cdot3)=189\bigg|_{:9} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow A:4\cdot3=21\bigg|_{:3} \Rightarrow A:4=7\bigg|_{\cdot4} \Rightarrow A=28\\ \\ \\ Acum,\ expresia\ ini\c{\it t}ial\breve a\ devine:$

$\it a+5b=28 \Rightarrow b=\dfrac{28-a}{5}\in\mathbb{N}\ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ (1) \Rightarrow a\in\{3,\ \ 8,\ \ 13,\ \ 18,\ \ 23\}\ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow (a,\ b)\in\{(3,\ 5);\ (8,\ 4);\ (13,\ 3);\ (18,\ 2);\ (23,\ 1)\}\\ \\ Problema\ \ are\ \ 5\ \ solu\c{\it t}ii\ .$