Question

Se stie ca z+1/z=3.
a) Sa se calculeze z^n+1/z^n pentru n ∈ {2,3,4 si 5}

b) Sa se arate ca z^n+1/z^n ∈ Q pt orice nr natural n>=1.

Answer 1

a)

z²+1/z²=(z+1/z)²-2*z*1/z==3²-2=9-2=7

z³+1/z³=(z+1/z)³-3*z*1/z*(z+1/z)=3³-3*3=27-9=18



z1^4+z1^4=(z²+1/z²)-2*z²*1/z²=18²-2=324-2=322

z^5+1/z^5=?/
sa ne amintim dezvoltarea lui
(a+b) ^5

vom folisi triunghiul lui pascal, ca sa nu mai face, Combinaride 5 luater cate 0,1....5
     1 3 3 1
    1 4 6 4  1
 1  5 10 10 5 1

(z+1/z)^5=z^5+5z³+10z+10/z+5/z³+1/z^5

atunci z^5+1/z^5=(z+1/z)^5-5(z³+1/z³)-10(z+1/z)=
                                3^5-5*18-10*3=243-90-30=243-120=123



b) observam ca pt n=2;3;4;5, z^n+1/z^n∈N⊂Q
presupenem adevarat pt n=n (de altfel a si fost verificat la pctul a) si desigur pt n=n-1; n-2...2;1 (pt 1 e din ipoteza)

Vom calcula produsul
(z^n+1/z^n)* (z+1/z)= z^(n+1) +z^(n-1)+1/z^(n-1)+1/z^(n+1)

de aici deducem ca
z^(n+1)+1/z^(n+1)= (z^n+1/z^n)*3-(z^(n-1)+1/z^(n-1))
dar cei doi termeni ai sumei algebrice din dreapta∈N, deci z suma ∈Z⊂Q
Deci Pn⇒Pn=1, propozitia este demonstrata prin inductie matematica, si anume, completa, deci e adevarata∀n∈N

Answer 2

Tema e la liceu,asa ca mi-am permis sa rezolv punctul b) cu metoda inductiei matematice.